题目内容

(本题满分15分)设M是由满足下列条件的函数构成的集合:“①方程有实数根;②函数的导数满足

   (I)证明:函数是集合M中的元素;

   (II)证明:函数具有下面的性质:对于任意,都存在,使得等式成立。 

(III)若集合M中的元素具有下面的性质:若的定义域为D,则对于任意[m,n],都存在,使得等式成立。试用这一性质证明:对集合M中的任一元素,方程只有一个实数根。

(Ⅰ)  见解析  (Ⅱ) 见解析  (Ⅲ)见解析


解析:

(I)证明:因为,又因为当x=0时,,所以方程有实数根0。

    所以函数是集合M中的元素。        ………………4分

  (II)证明:

[m,n] 

又,

也就是

………………9分

(III)假设方程f(x)-x=0存在两个实数根不妨设,根据题意存在数

        使得等式成立。

        因为

        与已知矛盾,所以方程只有一个实数根。……15分

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