Question

如图,已知椭圆+=1的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的中点为G,AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D,E两点.

(1)若点G的横坐标为-,求直线AB的斜率.

(2)记△GFD的面积为S₁,△OED(O为原点)的面积为S₂.试问:是否存在直线AB,使得S₁=S₂?说明理由.

Answer 1

【解析】(1)依题意,直线AB的斜率存在,

设其方程为y=k(x+1),

将其代入+=1,

整理得(4k²+3)x²+8k²x+4k²-12=0,

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),所以x₁+x₂=,

故点G的横坐标为=.

依题意,得=-,解得k=±.

(2)假设存在直线AB,使得S₁=S₂,显然直线AB不能与x,y轴垂直.

由(1)可得G,

因为DG⊥AB,所以×k=-1,

解得x_D=,即D,

因为△GFD∽△OED,

所以S₁=S₂⇔|GD|=|OD|,

所以

=,

整理得8k²+9=0,因为此方程无解,

所以不存在直线AB,使得S₁=S₂.