题目内容

12、已知函数f(x)=mx-lognx(0<m<1<n),正实数a,b,c,满足a>b>c>0,且f(a)f(b)f(c)<0,若存在实数d是函数y=f(x)的一个零点,那么下列四个判断:①;d>1;②d<a;③d>b;④d<b;⑤d>c其中有可能成立的个数为(  )
分析:由f(x)=mx-lognx=0(0<m<1<n),可构造函数g(x)=mx,h(x)=lognx,在同一坐标系内作出两函数的图象,图象交点处横坐标就是d的值,故d>1,①正确;
又a>b>c>0,且f(a)f(b)f(c)<0,所以f(a)<0,f(b)<0,f(c)<0或者f(a)<0,f(b)>0,f(c)>0,若前者成立,必有a>d,b>d,c>d,∴②,④正确;
若后者成立,必有c<d,b<d,故③,⑤正确;于是可得答案.
解答:解:∵f(x)=mx-lognx=0(0<m<1<n),可构造函数g(x)=mx,h(x)=lognx,在同一坐标系内作出两函数的图象,图象交点处横坐标就是d的值,故d>1,①正确;
又a>b>c>0,且f(a)f(b)f(c)<0,
所以f(a)<0,f(b)<0,f(c)<0或者f(a)<0,f(b)>0,f(c)>0,
若前者成立,必有a>d,b>d,c>d,∴②,④正确;
若后者成立,必有c<d,b<d,故③,⑤正确;
故答案为:D.
点评:本题旨在考查指数函数与对数函数的图象与性质,解题的关键是构造指数函数与对数函数,利用数形结合与分类讨论的数学思想解决.
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