Question

已知偶函数y=f（x）满足：当x≥2时，f（x）=（x-2）（a-x），a∈R，当x∈[0，2）时，f（x）=x（2-x）
（1）求当x≤-2时，f（x）的表达式；
（2）试讨论：当实数a、m满足什么条件时，函数g（x）=f（x）-m有4个零点，且这4个零点从小到大依次构成等差数列．

Answer 1

分析：（1）设x≤-2则-x≥2，代入可得f（-x）=（-x-2）（a+x），结合函数的奇偶性可得答案；
（2）设f（x）-m的零点x₁，x₂，x₃，x₄，y=f（x）与y=m交点有4个且均匀分布，分a≤2时，2＜a＜4且m=

3

4

时，a=4时m=1，和a＞4时，m＞1，几类结合函数的图象进行讨论，综合可得答案．

解答：解：（1）设x≤-2则-x≥2，∴f（-x）=（-x-2）（a+x），
又∵y=f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x），
所以  f（x）=（-x-2）（a+x）…（3分）
（2）设f（x）-m的零点从左到右依次为x₁，x₂，x₃，x₄，即y=f（x）与y=m交点有4个，
（Ⅰ）a≤2时，

x1+x2=-2 2x2=x1+x3 x2+x3=0

，解得x1=-

3

2

，x2=-

1

2

，x3=

1

2

，x4=

3

2

，
所以a≤2时，m=f（

1

2

）=

3

4

 …（5分）
（Ⅱ）2＜a＜4且m=

3

4

时，可得(

a

2

-1)2＜

3

4

，解得-

3

+2＜a＜

3

+2，
所以当2＜a＜

3

+2时，m=

3

4

…（7分）
（Ⅲ）当a=4时m=1时，符合题意…（8分）
（IV）a＞4时，m＞1，

x3+x4=2+a 2x3=x2+x4 x2+x3=0

，可解得x4=

6+3a

4

，
此时1＜m＜(

a

2

-1)2，所以 a＞

10+4 7

3

，或a＜

10-4 7

3

（舍去）
故a＞4且a＞

10+4 7

3

时，m=-

3a2-20a+12

16

时存在   …（10分）
综上：①a＜

3

+2时，m=

3

4

；
②a=4时，m=1
③a＞

10+4 7

3

时，m=-

3a2-20a+12

16

符合题意       …（12分）

点评：本题考查等差关系的确定，涉及函数的奇偶性和函数图象的应用，属中档题．