题目内容
已知函数。
(1)求函数在区间上的值域;
(2)是否存在实数a,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的,使得成立.若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
(1);(2)不存在.
解析试题分析:(1)∵,因此可以得到在是单调递增的,从而可以得到在的值域为;(2)根据题意以及(1)中所求,问题等价于对任意的,
在上总有两个不同的实根,因此在不可能是单调函数,通过求得首先可以预判的大致的取值范围为,再由此范围下的单调性可以得到在的极值,从而可以建立关于的不等式,进而求得的取值范围.
(1)∵在区间上单调递增,在区间上单调递减,且的值域为 6分;
(2)令,则由(1)可得,原问题等价于:对任意的,
在上总有两个不同的实根,故在不可能是单调函数 7分
,其中,
①当时,在区间上单调递减,不合题意 8分,
②当时,在区间上单调递增,不合题意 10分,
③当,即时,在区间上单调递减;在区间上单调递增,
由上可得,此时必有且 12分
而上可得,则,
综上,满足条件的a不存在 14分.
考点:1.导数求函数的单调区间与极值;2.导数的运用.
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