题目内容

若 P为椭圆
x2
25
+
y2
16
=1
上任意一点,F1、F2为左、右焦点,如图所示.
(1)若PF1的中点为M,求证:|MO|=5-
1
2
|PF1|

(2)若F1PF2=600,求|PF1|•|PF2|之值;
(3)椭圆上是否存在点P,使
PF1
PF2
=0
,若存在,求出P点的坐标,若不存在,试说明理由.
分析:(1)在△F1PF2中,MO为中位线,根据三角形的中位线定理再结合椭圆的定义即可得出答案;
(2)先利用椭圆的定义得到:|PF1|+|PF2|=10,再在△PF1F2中利用余弦定理得出cos 60°=
|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2
2|PF1||PF2|
,两者结合即可求得|PF1|•|PF2|;
(3)先设点P(x0,y0),根据椭圆的性质,易知F1(-3,0),F2(3,0),写出向量的坐标再结合向量垂直的条件得出关于P点坐标的方程组,由此方程组无解,故这样的点P不存在.
解答:证明:(1)在△F1PF2中,MO为中位线,
∴|MO|=
|PF2|
2
=
2a-|PF1|
2

=a-
|PF1|
2
=5-
1
2
|PF1|….(3分)
(2)解:∵|PF1|+|PF2|=10,
∴|PF1|2+|PF2|2=100-2|PF1|•|PF2|,
在△PF1F2中,cos 60°=
|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2
2|PF1||PF2|

∴|PF1|•|PF2|=100-2|PF1|•|PF2|-36,
∴|PF1|•|PF2|=
64
3
.…(8分)
(3)解:设点P(x0,y0),则 
x02
25
+
y02
16
=1
.①
易知F1(-3,0),F2(3,0),故
PF1
=(-3-x0,-y0),
PF2
=(3-x0,-y0),
PF1
PF2
=0,
∴x
 
2
0
-9+y
 
2
0
=0,②
由①②组成方程组,此方程组无解,故这样的点P不存在. …(12分)
点评:本小题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、解三角形等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.
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