Question

设P为椭圆

x2

25

+

y2

12

=1上的一点，F₁，F₂是该双曲线的两个焦点，若|PF₁|：|PF₂|=3：2，则△PF₁F₂的面积为

12

．

Answer 1

分析：先由椭圆的方程求出|F₁F₂|=2c，再由|PF₁|：|PF₂|=3：2，求出|PF₁|、|PF₂|，由此能够推导出△PF₁F₂是直角三角形，其面积=

1

2

×|PF1| ×|PF2|．

解答：解：∵|PF₁|：|PF₂|=3：2，
∴可设|PF₁|=3k，|PF₂|=2k，
由题意可知3k+2k=10，
∴k=2，
∴|PF₁|=6，|PF₂|=4，
∵|F₁F₂|=2

25-12

=2

13

，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²
∴△PF₁F₂是直角三角形，
其面积=

1

2

×|PF1| ×|PF2|=

1

2

× 6×4=12．
故答案为：12．

点评：本题考查椭圆的简单性质，三角形的判定等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，判断出△PF₁F₂是直角三角形能够简化运算．