Question

5．已知xy=1，且O＜y＜$\frac{1}{2}$，则$\frac{{x}^{2}+16{y}^{2}}{x-4y}$的最小值为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． $\frac{17}{3}$
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 xy=1，且O＜y＜$\frac{1}{2}$，可得4y=$\frac{4}{x}$，x＞2，$x＞\frac{4}{x}$．代入变形利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵xy=1，且O＜y＜$\frac{1}{2}$，
∴4y=$\frac{4}{x}$，x＞2，
∴$x＞\frac{4}{x}$．
则$\frac{{x}^{2}+16{y}^{2}}{x-4y}$=$\frac{{x}^{2}+（\frac{4}{x}）^{2}}{x-\frac{4}{x}}$=$\frac{（x-\frac{4}{x}）^{2}+8}{x-\frac{4}{x}}$=$x-\frac{4}{x}$+$\frac{8}{x-\frac{4}{x}}$$≥2\sqrt{（x-\frac{4}{x}）×\frac{8}{x-\frac{4}{x}}}$=4$\sqrt{2}$，当且仅当x-$\frac{4}{x}$=2$\sqrt{2}$，解得x=$\sqrt{2}+\sqrt{6}$时取等号．
∴$\frac{{x}^{2}+16{y}^{2}}{x-4y}$的最小值为4$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了基本不等式的性质、变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．