Question

13．已知函数f（x）=$\sqrt{x-3}$-$\frac{1}{{\sqrt{7-x}}}$的定义域为集合A，B={y|y=-x²+2x+5，x∈（-1，2]}，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}．
（1）求A，B，A∩B，A∪B，（∁_RA）∩B；
（2）若A∪C=R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的性质求出集合A，B，结合集合的基本运算进行求解即可．
（2）根据条件A∪C=R，建立条件关系即可．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x-3≥0}\\{7-x＞0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x≥3}\\{x＜7}\end{array}\right.$，解得3≤x＜7，即A=[3，7）．B={y|y=-x²+2x+5=-（x-1）²+6，x∈（-1，2]}=（2，6]，
则A∩B=[3，6]，A∪B=（2，7），（∁_RA）∩B=（2，3）；
（2）∵C={x∈R|x＜a或x＞a+1}．
∴若A∪C=R，则$\left\{\begin{array}{l}{a≥3}\\{a+1＜7}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≥3}\\{a＜6}\end{array}\right.$，解得3≤a＜6，即实数a的取值范围是[3，6）．

点评 本题主要考查集合的基本运算，根据函数的性质求出集合A，B是解决本题的关键．