题目内容
【题目】设Sn是数列{an}的前n项和,an>0,且 .
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设 ,Tn=b1+b2+…+bn , 求证:
.
【答案】
(1)解:∵ ,Sn﹣1=
an﹣1(an﹣1+3),
∴an= [
+3an﹣(
+3an﹣1)],
整理得: ﹣
=3(an+an﹣1),
又∵an>0,
∴an﹣an﹣1=3,
又∵a1= a1(a1+3),即a1=3或a1=0(舍),
∴数列{an}是首项、公差均为3的等差数列,
∴其通项公式an=3n
(2)证明:由(1)可知 =
=
(
﹣
),
∴Tn=b1+b2+…+bn
= (
﹣
+
﹣
+…+
﹣
)
= (
﹣
)
<
【解析】(1)通过 与Sn﹣1=
an﹣1(an﹣1+3)作差,进而可知数列{an}是首项、公差均为3的等差数列,计算即得结论;(2)通过(1)裂项可知bn=
(
﹣
),进而并项相加即得结论.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用数列的前n项和的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系.
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【题目】某企业常年生产一种出口产品,根据预测可知,进入21世纪以来,该产品的产量平稳增长.记2009年为第1年,且前4年中,第x年与年产量f(x) 万件之间的关系如下表所示:
x | 1 | 2 | 3 | 4 |
f(x) | 4.00 | 5.58 | 7.00 | 8.44 |
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=logx+a.
(1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后选取其中你认为最适合的数据求出相应的解析式;
(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响,2015年的年产量比预计减少30%,试根据所建立的函数模型,确定2015年的年产量.