题目内容
已知向量
=(cos2ωx-sin2ωx，sinωx)，
=(
，2cosωx)，设函数f(x)=
•
(x∈R)的图象关于直线x=
对称，其中ω为常数，且ω∈（0，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的
，再将所得图象向右平移
个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）的图象，若关于x的方程h（x）+k=0在区间[0，
]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
| π |
| 2 |
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的
| 1 |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
分析：（Ⅰ）利用向量的数量积公式化简函数，结合函数的图象关于直线x=
对称，且ω∈（0，1），即可求得函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）确定h（x）=2sin（2x-
），关于x的方程h（x）+k=0在区间[0，
]上有且只有一个实数解，等价于2sint+k=0在t∈[
，
]上有且只有一个实数解，由此可得结论．
| π |
| 2 |
（Ⅱ）确定h（x）=2sin（2x-
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
解答：解：（Ⅰ）∵向量
=(cos2ωx-sin2ωx，sinωx)，
=(
，2cosωx)，
∴f(x)=
•
=（cos2ωx-sin2ωx，sinωx）•(
，2cosωx)=
cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+
）
∵函数图象关于直线x=
对称，∴2sin（πω+
）=±2
∴πω+
=kπ+
（k∈Z），即ω=k+
（k∈Z）
∵ω∈（0，1），∴k=0，ω=
∴f（x）=2sin（
x+
）；
（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的
，再将所得图象向右平移
个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）=2sin（2x-
）的图象，
令2x-
=t，∵x∈[0，
]，∴t∈[
，
]
∴关于x的方程h（x）+k=0在区间[0，
]上有且只有一个实数解，即2sint+k=0在t∈[
，
]上有且只有一个实数解，
即y=2sint，t∈[
，
]的图象与y=-k有且只有一个交点，
∴-
＜k≤
或k=-2．
| a |
| b |
| 3 |
∴f(x)=
| a |
| b |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
∵函数图象关于直线x=
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
∴πω+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 1 |
| 6 |
∵ω∈（0，1），∴k=0，ω=
| 1 |
| 6 |
∴f（x）=2sin（
| 1 |
| 3 |
| π |
| 3 |
（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的
| 1 |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
令2x-
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴关于x的方程h（x）+k=0在区间[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
即y=2sint，t∈[
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴-
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查向量的数量积运算，考查函数解析式的确定，考查图象的变换，考查解的问题，确定函数的解析式是关键．
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