Question

解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

定义F(x，y)＝(1＋x)^y，x，y∈(0，＋∞)，

(Ⅰ)令函数f(x)＝F(1，log₂(x²－4x＋9))的图象为曲线C₁，曲线C₁与y轴交于点A(0，m)，过坐标原点O向曲线C₁作切线，切点为B(n，t)(n＞0)，设曲线C₁在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S，求S的值；

(Ⅱ)令函数g(x)＝F(1，log₂(x³＋ax²＋bx＋1))的图象为曲线C₂，若存在实数b使得曲线C₂在x₀(－4＜x₀＜－1)处有斜率为－8的切线，求实数a的取值范围；

(Ⅲ)当且x＜y时，证明F(x，y)＞F(y，x)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∵ 　　∴，故A(0，9)，　1分 　　又过坐标原点O向曲线作切线，切点为B(n，t)(n＞0)，＝2x－4． 　　∴， 　　解得B(3，6)，　　2分 　　∴．　　4分 　　(Ⅱ)， 　　设曲线在处有斜率为－8的切线， 　　又由题设log2(x3＋ax2＋bx＋1)＞0，＝3x2＋2ax＋b， 　　∴存在实数b使得有解，　　6分 　　由(1)得，代入(3)得，　　7分 　　∴由有解， 　　得2×(－4)2＋a×(－4)＋8＞0或2×(－1)2＋a×(－1)＋8＞0， 　　∴a＜10或， 　　∴．　　9分 　　(Ⅲ)令，由，　　10分 　　又令， 　　∴， 　　∵在连续　　∴在单调递减，　　12分 　　∴当时有，， 　　∴当时有，， 　　∴在单调递减，　　13分 　　∴时，有， 　　∴yln(1＋x)＞xln(1＋y)， 　　∴， 　　∴当且时，．　　14分