题目内容
【题目】已知函数.
(1)若曲线在点
处的切线方程为
,求a,b的值;
(2)如果是函数
的两个零点,
为函数
的导数,证明:
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】试题分析:
(1)由曲线在点
处的切线方程,可求出切线斜率,即为函数
在x=1处的导数,由此可求出
,再求出
,即得点
,再将点
切线方程为
,即可求出
.
(2)先求出,再由
是函数
的两个零点这一条件,将
转为
的数学表达式,再通过换元
,得到了
与一个变量
的关系,最终将问题转化为求函数的单调性与最值问题。
试题解析:
(1)由切线方程为,可知斜率
, 而
.所以
,得
,由此
.
而,所以
,
,得
.
(2)因为, ,所以
是函数
的两个零点
,
,
故要证,
只需证
,令则设
下面证
恒成立
在
单调递减,
即
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