题目内容
已知函数f(x)=sin(x+
)+cos(x-
)．
（Ⅰ）求f（x）的对称轴方程；
（Ⅱ）已知sin(α+β)=-
，cos(β+
)=-
，α，β∈(
)，求f（α）的值．
| 7π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
（Ⅰ）求f（x）的对称轴方程；
（Ⅱ）已知sin(α+β)=-
| 3 |
| 5 |
| π |
| 4 |
| 4 |
| 5 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 4 |
分析：（Ⅰ）利用两角和的三角公式化简函数f（x）的解析式为 2sin(x-
)，令x-
=kπ+
，由此求得f（x）的对称轴方程．
（Ⅱ）利用两角和的三角公式化简函数f（α）的解析式，由条件求得cos(α+β)=-
，sin(β+
)=
，代入f（α）的解析式，运算求得结果．
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
（Ⅱ）利用两角和的三角公式化简函数f（α）的解析式，由条件求得cos(α+β)=-
| 4 |
| 5 |
| π |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
解答：解：（Ⅰ）由于f(x)=sinxcos
+cosxsin
+cosxcos
+sinxsin
=
sinx-
cosx=2sin(x-
)，
令x-
=kπ+
，
解得f（x）的对称轴是x=kπ+
，k∈Z．
（Ⅱ）f(α)=2sin(α-
)=2sin[(α+β)-(β+
)]=2sin(α+β)cos(β+
)-2cos(α+β)sin(β+
)．…（*）
∵
＜α＜β≤
，
∴α+β∈(π，
)，β+
∈(
，π)，
∴cos(α+β)=-
，sin(β+
)=
代入（*）式得f(α)=
．
| 7π |
| 4 |
| 7π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| 2 |
| 2 |
| π |
| 4 |
令x-
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
解得f（x）的对称轴是x=kπ+
| 3π |
| 4 |
（Ⅱ）f(α)=2sin(α-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
∵
| π |
| 2 |
| 3π |
| 4 |
∴α+β∈(π，
| 3π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
∴cos(α+β)=-
| 4 |
| 5 |
| π |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| 48 |
| 25 |
点评：本题主要考查两角和的三角公式的应用，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．
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