Question

已知：如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC=BC=BB₁.

(Ⅰ)求证：BC₁⊥AB₁；

(Ⅱ)求证：BC₁∥平面CA₁D；

(Ⅲ)求异面直线DC₁与AB₁所成角的余弦值．

Answer 1

方法一：(1)证明：AC⊥BC，AC⊥CC₁，

则AC⊥平面CC₁B₁B．

四边形CC₁B₁B为正方形，连B₁C，则C₁B⊥B₁C．

由三垂线定理，得BC₁⊥AB₁

(Ⅱ)证明：连AC₁交CA₁于E，连DE．

在△AC₁B中，由中位线定理得DE∥BC₁

又DEC平面CA₁D，BC₁平面CA₁D，

∴BC₁∥平面CA₁D．

(Ⅲ)解：取BB1的中点F，连DF和C₁F，则DF∥AB₁，

∠C₁DF或它的补角为所求．

令AC=BC=BB₁=2．在Rt△FB₁C₁中可求出C₁F=，

在Rt△AB₁B中可求出AB₁=2，则DF=，

DC₁=．在△DFC₁中，由余弦定理，得

cos∠C₁DF=．

方法二：如图建立坐标系．设AC=BC=BB₁=2，则

A(2，0，2)，B(0，2，2)，C(0，0，2)，A₁(2，0，0)B_l(0，2，0)，C₁(0，0，0)，D(1，1，2)．

(Ⅰ)证：=(0，-2，-2)，=(-2，2，-2)，

·=0-4+4=0．∴BC₁⊥AB₁

(Ⅱ)证：取A₁C的中点E，连DE.E(1，0，1)

则=(0，1，1)，=(0，-2，-2)．

有=-2．又ED与BC₁不共线，则DF∥AB₁

又DE平面CA₁D，BC₁平面CA₁D.

则BC₁∥平面CA₁D．

(Ⅲ) =(-2，2，-2)，=(-1，-1，-2)

∴cos＜，＞=.