Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，E为棱CC₁的中点，已知AB=

2

，BB₁=2，BC=1．
（1）证明：BE是异面直线AB与EB₁的公垂线；
（2）求二面角A-EB₁-A₁的大小；
（3）求点A₁到面AEB₁的距离．

Answer 1

分析：（1）由题意，可由AB⊥面BC₁，证得AB⊥BE，再由题设条件用勾股定理证出∠BEB₁=90°，得出BE⊥EB₁，即可得出结论；
（2）求二面角A-EB₁-A₁的大小要先作出其平面角，由题设条件及图形知，可证得∠AEB₁为二面角A-EB₁-A₁的平面角，再由条件求角；
（3）求点到面的距离问题一般可以用等体积法求解，由图形知VA1-AEB1=VE-A1B1A，求出相关的量，即可得出点到面的距离．

解答：解：（1）证明：∵AB⊥BC，AB⊥BB₁，∴AB⊥面BC₁，∴AB⊥BE
∵BE=B₁E=

2

，BB₁=2，∴∠BEB₁=90°，∴BE⊥EB₁
BE是异面直线AB与EB₁的公垂
（2）∵AB⊥面BC₁，BE⊥EB₁，∴AE⊥EB₁
∴∠AEB₁为二面角A-EB₁-A₁的平面角
∵AB=

2

，BE=

2

，∴∠AEB=45°
∵面A₁B₁E⊥面BCB₁C₁，∴二面角A-EB₁-A₁为45°
（3）设点A₁到面AEB₁的距离为h，
由上证及题设条件知S△AEB1=

1

2

•AE•EB1=

2

，
又S△A1B1A=

1

2

•A1B1•AA1=

2

，点E到面A₁B₁A的距离是1
∵VA1-AEB1=VE-A1B1A，
∴

1

3

×

2

×h=

1

3

×

2

×1
∴h=1
即点A₁到面AEB₁的距离．

点评：本题考查二面角的求法，解答本题关键是掌握住二面角求法步骤，作角，证角，求角，其中第二步证明过程容易漏掉，解题时要谨记，本题考查到点到面距离的求法，注意总结此问题的解法规律及解法步骤，点到面距离的求解是立体几何中一类重要题型．这几年高考中也多有涉及，本题思维量与运算量不少，解题时要认真．