Question

（2012•嘉定区三模）若对于任意实数m，关于x的方程log2(ax2+2x+1)-m=0恒有解，则实数a的取值范围是（　　）

A．（-∞，1）

B．（0，1]

C．[0，1]

D．（0，1）

Answer 1

分析：依题意，可知函数y=log2(ax2+2x+1)的值域为R，从而可知函数g（x）=ax²+2x+1与x轴有交点且g（x）∈（0，+∞）；通过对参数a分a=0与a＞0且△≥0的讨论即可得到答案．

解答：解：∵对于任意实数m，关于x的方程log2(ax2+2x+1)-m=0恒有解，
∴函数y=log2(ax2+2x+1)的值域为R，
∴函数g（x）=ax²+2x+1与x轴有交点且函数y=g（x）的值域包含了所有的正数．
∴当a=0时，g（x）=2x+1与x轴有交点（-

1

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，0），满足题意；
当a≠0时，则a＞0且△=4-4a≥0，
∴0＜a≤1．
综上所述，0≤a≤1．
故选C．

点评：本题考查复合函数的单调性，考查理解题意与等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于中档题．