题目内容

(2012•吉林二模)下列函数f(x)中,满足“对任意的x1,x2∈(-∞,0),当x1<x2时,总有f(x1)>f(x2)”的是(  )
分析:根据题目所给条件,说明函数f(x)在(-∞,0)上应为减函数,其中选项A是二次函数,C是反比例函数,D是指数函数,图象情况易于判断,B是对数型的,从定义域上就可以排除.
解答:解:函数满足“对任意的x1,x2∈(-∞,0),当x1<x2时,总有f(x1)>f(x2)”,说明函数在(-∞,1)上为减函数.
f(x)=(x+1)2是二次函数,其图象是开口向上的抛物线,对称轴方程为x=-1,所以函数在(-∞,-1)单调递减,在(-1,+∞)单调递增,不满足题意.
函数f(x)=ln(x-1)的定义域为(1,+∞),所以函数在(-∞,0)无意义.
对于函数f(x)=
1
x
,设x1<x2<0,则f(x1)-f(x2)=
1
x1
-
1
x2
=
x2-x1
x1x2
,因为x1,x2∈(-∞,0),且x1<x20,x2-x1>0,则
x2-x1
x1x2
>0
,所以f(x1)>f(x2),故函数f(x)=
1
x
在(-∞,0)上为减函数.
函数f(x)=ex在(-∞,+∞)上为增函数.
故选C.
点评:本题考查了函数的单调性,解决此题的关键,是能根据题目条件断定函数为(-∞,0)上的减函数.
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