题目内容

已知 $数学公式$ 且x≠0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域．

解：（1）在 $\text{[math]}$ 中，…①…
以 $\text{[math]}$ 代替x，得 $\text{[math]}$ ，…②…
①×2+②，得 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ．
所以函数f（x）的解析式为 $\text{[math]}$ ．
（2）由 $\text{[math]}$ 得3xy=2x²+1，即2x²-3y•x+1=0．
因为x≠0，x∈R，所以关于x的方程2x²-3y•x+1=0有实数根．故△=9y²-8≥0，即 $\text{[math]}$ ．
解得 $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ．
所以函数f（x）的值域为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用方程组法求解该函数的解析式；（2）将函数最值问题转化为方程有根问题求解．
点评：本题考察构造方程利用方程组法求函数解析式、函数最值的求解，（2）中函数单调性比较难判断，所以采用转化思想解答．

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