Question

A．选修4-1：几何证明选讲
如图，直角△ABC中，∠B=90°，以BC为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB的中点．
求证：DE是⊙O的切线．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A有特征值-1及其对应的一个特征向量为

1 -4

，点P（2，-1）在矩阵A对应的变换下得到点P′（5，1），求矩阵A．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρcos(θ-

π

4

)=

2

，曲线C的参数方程为

x=2cosα y=sinα

（α为参数），求曲线C截直线l所得的弦长．
D．选修4-5：不等式选讲
已知a，b，c都是正数，且abc=8，求证：log₂（2+a）+log₂（2+b）+log₂（2+c）≥6．

Answer 1

分析：A．连接OD，DB，由BC是⊙O的直径，知∠ADB=∠CDB=90°，由此能够推导出∠EDO=∠OBE=90°，从而证明DE是⊙O的切线．
B．设二阶矩阵A=

a b c d

，由题意，

a b c d

1 -4

=(-1)

1 -4

，且

a b c d

2 -1

=

5 1

，由此能求出矩阵A．
C．分别把ρcos(θ-

π

4

)=

2

和参数方程

x=2cosα y=sinα

（α为参数）化为直角坐标方程，然后联立方程组解得两曲线的交点，由此能求出弦长．
D．先利用基本不等式根据已知条件推导出（2+a）（2+b）（2+c）≥2

2a

•2

2b

•2

2c

=8

8abc

=64，再由对数性质能够证明log₂（2+a）+log₂（2+b）+log₂（2+c）≥6．

解答：【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题（10分），共计（20分）．
A．选修4-1：几何证明选讲
证：连接OD，DB
∵BC是⊙O的直径∴∠ADB=∠CDB=90°…（2分）
∵E是AB的中点∴DE=

1

2

AB=EB∴∠1=∠2
∵OD=OB，∴∠3=∠4…（8分）
∴∠1+∠3=∠2+∠4．即∠EDO=∠OBE=90°
∴DE是⊙O的切线．…（10分）

B．选修4-2：矩阵与变换
解：设二阶矩阵A=

a b c d

由题意，

a b c d

1 -4

=(-1)

1 -4

，且

a b c d

2 -1

=

5 1

…（4分）
即

a-4b=-1 2a-b=5 c-4d=4 2c-d=1

，…（8分）
解得

a=3 b=1 c=0 d=-1

，∴A=

3 1 0 -1

．…（10分）
C．选修4-4：坐标系与参数方程
解：由ρcos(θ-

π

4

)=

2

，化为直角坐标方程x+y-2=0，①…（4分）
参数方程

x=2cosα y=sinα

（α为参数），化为直角坐标方程

x2

4

+y2=1，②…（8分）
联立①②得

x+y-2=0 x2 4 +y2=1

，解得两曲线的交点为（2，0），(

6

5

，

4

5

)，
所以所求的弦长=

(2- 6 5 )2+(0- 4 5 )2

=

4

5

2

．…（10分）
D．选修4-5：不等式选讲
证明：∵a，b，c都是正数，
∴2+a≥2

2a

，2+b≥2

2b

，2+c≥2

2c

，…（4分）
又∵abc=8，
∴（2+a）（2+b）（2+c）≥2

2a

•2

2b

•2

2c

=8

8abc

=64，…（8分）
（当且仅当a=b=c=2时等号成立）…（9分）
故log₂（2+a）+log₂（2+b）+log₂（2+c）
=log₂[（2+a）（2+b）（2+c）]
≥log₂64=6．…（10分）

点评：A考查与圆有关的比例线段，B考查矩阵与变换，C考查极坐标与参数方程，D考查不等式的证明，都是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．