Question

设抛物线C₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于点F₁，焦点为F₂；椭圆C₂以F₁、F₂为焦点，离心率e=

1

2

．
（I）（文科做）当m=1时，
①求椭圆C₂的标准方程；
②若直线l与抛物线交于A、B两点，且线段AB恰好被点P（3，2）平分，设直线l与椭圆C₂交于M、N两点，求线段MN的长；
（II）（仅理科做）设抛物线C₁与椭圆C₂的一个交点为Q，是否存在实数m，，使得△QF₁F₂的边长是连续的自然数？若存在，求出这样的实数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）①当m=1时，抛物线C₁方程可知，所以椭圆C₂中c与a值可求，进而得出椭圆的标准方程；
②由题意得，若x=3，则y=±2

3

，线段AB不可能被点P（3，2）平分．直线l的斜率k一定存在，不妨设直线l的方程为：y-2=k（x-3），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线的方程代入椭圆的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合根系数的关系利用中点坐标公式即可求得k值，从而求得直线l的方程．
（II）先假设存在实数m，使得△QF₁F₂的边长是连续的自然数，由P点为抛物线与椭圆在第一象限的焦点，所以只要根据抛物线方程求出椭圆方程，再联立，即可得出Q点坐标，从而分别求出△QF₁F₂的三边长，让三边成公差为1得等差数列，求m的值，若能求出，则存在，若不能求出，则不存在．

解答：解：（I）①∵c₁：y²=4mx的右焦点F₂（m，0）∴椭圆的半焦距c=m，
又e=

1

2

，∴椭圆的长半轴的长a=2m，短半轴的长b=

3

m．
椭圆方程为

x2

4m2

+

y2

3m2

=1，
∴当m=1时，故椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
②由题意得，若x=3，则y=±2

3

，线段AB不可能被点P（3，2）平分，
∴直线l的斜率k一定存在，不妨设直线l的方程为：y-2=k（x-3），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y2=4x y-2=k(x-3)

得ky²-4y-12k+8=0，
∴y₁+y₂=

4

k

=4，∴k=1，
∴直线l的方程为：y-2=x-3，即y=x-1．
（II）假设存在满足条件的实数m，
由

y2=4mx x2 4m2 + y2 3m2 =1

，解得：Q(

2

3

m，

8

3

m)，
∴|QF2|=

2

3

m+m=

5

3

m，|QF1|=4m-|QF2|=

7

3

m，又|F1F2|=2m=

6

3

m．
即△QF₁F₂的边长分别是

5

3

m、

6

3

m、

7

3

m．
∵

6m

3

-

5m

3

=

7m

3

-

6m

3

=1∴m=3，
故存在实数m使△PF₁F₂的边长是连续的自然数．

点评：本题考查抛物线和椭圆的标准方程和简单性质，弦长公式的应用，考查了椭圆、抛物线与直线的位置关系以及存在性问题，综合性强，做题时认真观察，找出切入点．