Question

如图，设抛物线C₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂；以F₁，F₂为焦点，离心率e=

1

2

的椭圆C₂与抛物线C₁在x轴上方的交点为P，延长PF₂交抛物线于点Q，M是抛物线C₁上一动点，且M在P与Q之间运动．
（1）当m=1时，求椭圆C₂的方程；
（2）当△PF₁F₂的边长恰好是三个连续的自然数时，求△MPQ面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）当m=1时，y²=4x，则F₁（-1，0），F₂（1，0）．设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由题设条件知c=1，a=2，b²=3，由此可知椭圆C₂方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）因为c=m，e=

c

a

=

1

2

，则a=2m，b²=3m²，设椭圆方程为

x2

4m2

+

y2

3m2

=1，由

x2 4m2 + y2 3m2 =1 y2=4mx

，得3x²+16mx-12m²=0，得x_P=

2m

3

代入抛物线方程得P（

2m

3

，

2 6 m

3

），由此得m=3，由此可求出△MPQ面积的最大值．

解答：解：（1）当m=1时，y²=4x，则F₁（-1，0），F₂（1，0）
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则c=1，又e=

c

a

=

1

2

，所以a=2，b²=3
所以椭圆C₂方程为

x2

4

+

y2

3

=1（4分）
（2）因为c=m，e=

c

a

=

1

2

，则a=2m，b²=3m²，
设椭圆方程为

x2

4m2

+

y2

3m2

=1
由

x2 4m2 + y2 3m2 =1 y2=4mx

，得3x²+16mx-12m²=0（6分）
即（x+6m）（3x-2m）=0，得x_P=

2m

3

代入抛物线方程得y_P=

2 6

3

m，
即P（

2m

3

，

2 6 m

3

）
|PF₂|=x_P+m=

5m

3

，|PF₁|=2a-|PF₂|=4m-

5m

3

=

7m

3

，|F₁F₂|=2m=

6m

3

，
因为△PF₁F₂的边长恰好是三个连续的自然数，所以m=3（8分）
此时抛物线方程为y²=12x，P（2，2

6

），直线PQ方程为：y=-2

6

（x-3）．
联立

y=-2 6 (x-3) y2=12x

，得2x²-13x+18=0，即（x-2）（2x-9）=0，
所以x_Q=

9

2

，代入抛物线方程得y_Q=-3

6

，即Q（

9

2

，-3

6

）
∴|PQ|=

(2- 9 2 )2+(2 6 +3 6 ) 2

=

25

2

．
设M（

t2

12

，t）到直线PQ的距离为d，t∈（-3

6

，2

6

）
则d=

| 6 6 t2+t-6 6 |

24+1

=

6

30

|（t+

6

2

）²-

75

2

|（10分）
当t=-

6

2

时，d_max=

6

30

•

75

2

=

5 6

4

，
即△MPQ面积的最大值为

1

2

×

25

2

×

5 6

4

=

125 6

16

．（12分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件．