Question

4．已知函数f（x）=x|x-a|+2x，若存在a∈[-4，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围为（　　）

• A． （1，$\frac{9}{8}$）
• B． （1，$\frac{9}{7}$）
• C． （$\frac{9}{7}$，$\frac{3}{2}$）
• D． （$\frac{9}{8}$，$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 化简f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+（a+2）x，x≤a}\\{{x}^{2}+（2-a）x，x＞a}\end{array}\right.$，分-2≤a≤2，a∈（2，4]，a∈[-4，-2）讨论函数的单调性，从而确定函数的极值，从而可知tf（a）在极值所成的区间上，再转化为最值问题即可．

解答 解：当-2≤a≤2时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+（a+2）x，x≤a}\\{{x}^{2}+（2-a）x，x＞a}\end{array}\right.$在R上是增函数，
则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根，
则当a∈（2，4]时，由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+（a+2）x，x≤a}\\{{x}^{2}+（2-a）x，x＞a}\end{array}\right.$，
则当x＞a时，f（x）=x²+（2-a）x，对称轴x=$\frac{a-2}{2}$＜a，
则f（x）在x∈（a，+∞）为增函数，此时f（x）的值域为（f（a），+∞）=（2a，+∞），
x≤a时，f（x）=-x²+（2+a）x，对称轴x=$\frac{a+2}{2}$＜a，
则f（x）在x∈（-∞，$\frac{a+2}{2}$]为增函数，此时f（x）的值域为（-∞，$\frac{（a+2）^{2}}{4}$]，f（x）在[$\frac{a+2}{2}$，a]为减函数，此时f（x）的值域为[2a，$\frac{（a+2）^{2}}{4}$]；
∵存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，
∴2ta∈（2a，$\frac{（a+2）^{2}}{4}$），
即存在a∈（2，4]，使得t∈（1，$\frac{（a+2）^{2}}{8a}$）即可，
令g（a）=$\frac{（a+2）^{2}}{8a}$=$\frac{1}{8}$（a+$\frac{4}{a}$+4），
只要使t＜（g（a））_max即可，而g（a）在a∈（2，4]上是增函数，
∴（g（a））_max=g（4）=$\frac{9}{8}$，
故实数t的取值范围为（1，$\frac{9}{8}$）；
同理可求当a∈[-4，-2）时，t的取值范围为（1，$\frac{9}{8}$）；
综上所述，实数t的取值范围为（1，$\frac{9}{8}$）．
故选：A．

点评 本题考查了绝对值函数的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，二次函数的性质应用及数形结合的思想应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．