题目内容
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为实数a不为零),且同时满足下列条件:(1)f(-1)=0;
(2)对于任意的实数x,都有f(x)-x≥0;
(3)当x∈(0,2)时有f(x)≤(
x+1 | 2 |
①求f(1);
②求a,b,c的值;
③当x∈[-1,1]时,函数g(x)=f(x)-mx(m∈R)是单调函数,求m的取值范围.
分析:(1)当x=1时,根据f(1)-1≥0,且f(1)≤(
)2=1,可得f(1)=1.
(2)由f(-1)=0 和f(1)=1,可得 b=
=a+c,再由f(x)-x≥0,可得 a=c=
.
(3)由上可得 f(x)=
x2+
x+
,求出g(x)的解析式,由函数g(x)在[-1,1]上单调可知,
有-
≤-1,或-
≥1,解不等式求得m的取值范围.
1+1 |
2 |
(2)由f(-1)=0 和f(1)=1,可得 b=
1 |
2 |
1 |
4 |
(3)由上可得 f(x)=
1 |
4 |
1 |
2 |
1 |
4 |
有-
| ||
2×
|
| ||
2×
|
解答:解:(1)当x=1时,由 f(1)-1≥0,且f(1)≤(
)2=1,∴f(1)=1.
(2)设二次函数为f(x)=ax2+bx+c,由f(-1)=0可得a-b+c=0,
而f(1)=1,∴a+b+c=1,解得b=
,a+c=
.
又f(x)-x≥0,∴ax2+bx+c-x≥0,化简得 ax2+(b-1)x+c≥0,
∴a>0且(b-1)2-4ac≤0,把 b=
,a+c =
,代入化简可得 (a-
)2 ≤ 0,
∴a=
,c=
.
(3)由上可得 f(x)=
x2+
x+
,∴g(x)=f(x)-mx=
x2+
x+
-mx=
x2+(
-m)x+
,
因为函数g(x)在[-1,1]上单调可知,-
≤-1,或-
≥1,
解得m≤0,或m≥1.故m的取值范围是{m|m≤0,或m≥1}.
1+1 |
2 |
(2)设二次函数为f(x)=ax2+bx+c,由f(-1)=0可得a-b+c=0,
而f(1)=1,∴a+b+c=1,解得b=
1 |
2 |
1 |
2 |
又f(x)-x≥0,∴ax2+bx+c-x≥0,化简得 ax2+(b-1)x+c≥0,
∴a>0且(b-1)2-4ac≤0,把 b=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
4 |
∴a=
1 |
4 |
1 |
4 |
(3)由上可得 f(x)=
1 |
4 |
1 |
2 |
1 |
4 |
1 |
4 |
1 |
2 |
1 |
4 |
1 |
4 |
1 |
2 |
1 |
4 |
因为函数g(x)在[-1,1]上单调可知,-
| ||
2×
|
| ||
2×
|
解得m≤0,或m≥1.故m的取值范围是{m|m≤0,或m≥1}.
点评:本题考查求函数的值的方法,二次函数的单调性的应用,体现了分类讨论的数学思想,求出a,b,c的值,是解题的
关键.
关键.
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