Question

【题目】在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a≠b，cos2A﹣cos2B= sinAcosA﹣ sinBcosB． （Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若c= ，siniA= ，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵cos2A﹣cos2B= sinAcosA﹣ sinBcosB． ∴ ﹣ = sin2A﹣ sin2B，…2分
可得：cos2A﹣cos2B= sin2A﹣ sin2B，可得：sin（2A﹣ ）=sin（2B﹣ ），…4分
∵△ABC中，a≠b，可得A≠B，
∴2A﹣ +2B﹣ =π，
∴A+B= ，可得：C= …6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，A+B= ，
∵sinA= ，可得：A= ，B= ，…8分
∴sin =sin（ + ）= ，…10分
∵c= ，由正弦定理 ，可得：a= ，…11分
∴S△ABC= acsinB= …12分
（注：解法较多，酌情给分，直接sin =sin75°= 的也给分）
【解析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（2A﹣ ）=sin（2B﹣ ），由A≠B，可得2A﹣ +2B﹣ =π，进而可求C的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，A+B= ，结合sinA= ，可得A，B的值，求得sin 的值，利用正弦定理可求a，进而利用三角形面积公式即可计算得解．