题目内容
【题目】设,其中
.若
对一切
恒成立,则①
;②
;③
既不是奇函数也不是偶函数;④
的单调递增区间是
;⑤存在经过点
的直线与函数
的图像不相交.以上结论正确的是________________.(写出所有正确结论的序号)
【答案】①③
【解析】
对于命题①,由对一切
恒成立知,直线
是
图像的对称轴.又函数
的周期为
,即
故①正确;
对于命题②,因为和
与对称轴的距离相等,即
,故②不正确.
对于命题③,因为直线是函数图像的对称轴,易得
,
即或
.即
即不是奇函数也是不偶函数,故③正确.
对于命题④,由上知的解析式不确定,即单调递增区间不确定,故④不正确.
对于命题⑤,因为(其中
),
可得,且
,即过点
的直线必与函数
的图像相交,故⑤不正确.
解:由对一切
恒成立知,直线
是
图像的对称轴.又∵
(其中
)的周期为
,∴
可看作
的值加了
个周期,∴
.故①正确.
∵,∴
和
与对称轴的距离相等.
∴,故②不正确.
∵直线是函数图像的对称轴,∴
,
∴.
∴或
,∴
.∴
或
.
∴即不是奇函数也是不偶函数,故③正确.
由上知的单调递增区间为
,
的单调递增区间为
.∵
的解析式不确定,∴单调递增区间不确定,故④不正确.
∵(其中
),
∴.又∵
,∴
.
∴,且
,
∴过点的直线必与函数
的图像相交,故⑤不正确.
故答案为①③.
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