题目内容

已知二次函数f（x）=ax²+x．
（1）设函数g（x）=（1-2t）x+t²-1，当a=1，函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（-2，4）内有两个相异的零点，求实数t的取值范围．
（2）当a＞0，求证对任意两个不等的实数x₁，x₂，都有 $数学公式$ ；
（3）若x∈[0，1]时，-1≤f（x）≤1，求实数a的取值范围．

解：（1）当a=1，函数h（x）=f（x）+g（x）=x²+（2-2t）x+t²-1．
由题意可得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，解得-2+ $\text{[math]}$ ＜t＜1．
故实数t的取值范围为（-2+ $\text{[math]}$ ，1）．
（2）∵ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
故对任意两个不等的实数x₁，x₂，都有 $\text{[math]}$ ．
（3）由题意可得x∈[0，1]时，-1≤f（x）≤1，即-1≤ax²+x≤1，
即x∈[0，1]时，ax²+x+1≥0且ax²+x-1≤0恒成立，
当x=0时，显然，ax²+x+1≥0且ax²+x-1≤0均成立．
当x∈（0，1]时，由ax²+x+1≥0恒成立，得 $\text{[math]}$ ，
而 $\text{[math]}$ 在x∈（0，1]最大值为-2，∴a≥-2．
当x∈（0，1]时，由ax²+x-1≤0恒成立，得 $\text{[math]}$ ，
而 $\text{[math]}$ 在x∈（0，1]最小值为0，∴a≤0．
综上可得，-2≤a≤0．
而由题意可得a≠0，因此所求的a的取值范围为[-2，0）．
分析：（1）当a=1，函数h（x）=x²+（2-2t）x+t²-1，由题意可得 $\text{[math]}$ ，由此求得实数t的取值范围
（2）计算 $\text{[math]}$ ，化简可得 $\text{[math]}$ ，从而证得结论．
（3）由题意可得x∈[0，1]时，-1≤ax²+x≤1，当x=0时，显然成立．当x∈（0，1]时，由ax²+x+1≥0恒成立，求得a≥-2；由ax²+x-1≤0恒成立，求得a≤0．再由a不等于0，从而求得a的取值范围．
点评：本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质的应用，函数的恒成立问题，属于中档题．