求证:${(n+1)}^{\frac{1}{n+1}}$＜${n}^{\frac{1}{n}}$．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．求证：

{（ n + 1 ）}^{\frac{1}{n + 1}}

${（n+1）}^{\frac{1}{n+1}}$ ＜

n^{\frac{1}{n}}

${n}^{\frac{1}{n}}$ （n≥3）．

分析令f（x）= $\frac{lnx}{x}$ ，x≥3，确定f（x）在[3，+∞）上递减，可得f（x+1）＜f（x），x≥3，即可证明结论．

解答证明：令f（x）= $\frac{lnx}{x}$ ，x≥3，则f′（x）= $\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$ ＜0，
∴f（x）在[3，+∞）上递减，
∴f（x+1）＜f（x），x≥3，
∴ $\frac{ln（n+1）}{n+1}$ ＜ $\frac{lnn}{n}$ ，n≥3，
∴ ${（n+1）}^{\frac{1}{n+1}}$ ＜ ${n}^{\frac{1}{n}}$ （n≥3）．

点评本题考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，正确构造函数是关键．

练习册系列答案

11．盒子有25个球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出1个球，已知它不是黑球，求它是黄球的概率．

8．已知sin（α+

\frac{π}{6}

$\frac{π}{6}$ ）-cosα=

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ ，则2sinαcos（α+

\frac{π}{6}

$\frac{π}{6}$ ）=

\frac{5}{18}

$\frac{5}{18}$ ．

15．数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=（2n-1）•2ⁿ，求S_n的表达式．

5．已知sinx=-

\frac{2}{5}

$\frac{2}{5}$ ，x∈[-π，π]，则x=（　　）

	A．	arcsin- $\frac{2}{5}$		B．	arcsin $\frac{2}{5}$ 或（arcsin $\frac{2}{5}$ ）+π
	C．	arcsin $\frac{2}{5}$		D．	arcsin（- $\frac{2}{5}$ ）或arcsin $\frac{2}{5}$ -π

12．若函数f（x）=（a+

\frac{1}{e^{x} - 1}

$\frac{1}{{e}^{x}-1}$ ）cosx是奇函数，则常数a的值等于0．

11．已知函数f（x）=x³+2x²-4x+5．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

12．抛物线x²=8y的准线方程是（　　）

A．

\frac{1}{32}

$\frac{1}{32}$

B．

y=2

C．

\frac{1}{32}

$\frac{1}{32}$

D．

y=-2

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