Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，ÐACB=90°，侧棱AA₁=2，D、E分别是CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是DABD的垂心G．

（1）求A₁B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）求点A₁到平面AED的距离．

Answer 1

答案：
解析：

本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力． （1）解法一：边结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即ÐEBG是A1B与平面ABD所成的角． 设F为AB中点，连结EF、FC， ∵ D，E分别是CC1，A1B的中点，又DC^平面ABC，∴ CDEF为矩形，连结DE，G是DADB的重心，∴ GÎDF，在直角三角形EFD中EF2=FG×FD=FD2，∵ EF=1，∴ FD=，于是E=，，∵ FC=CD=，∴ AB=．A1B=，EB=． ∴ ． ∴ A1B与平面ABD所成的角是． 解法二：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即ÐA1BG是A1B与平面ABD所成的角，建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a． 则A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)． ∴ ，∴ ．解得a=1． ∴ ． ∴ ． A1B与平面ABD所成角是． （2）连结A1D，有 ∵ ED^AB，ED^EF，又EF∩AB=F，∴ ED^平面A1AB，设A1到平面AED的距离为h，则SDAED×h=，，． ∴ ．即A1到平面AED的距离为．