Question

8．如图所示，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=2，点E在边AB上，点F在边CD上，且EF∥AD，沿EF将面EBCF折起，使得CF⊥AE．
（1）若点M在CD上，且FM⊥CD，求证：FM⊥平面ACD；
（2）当三棱锥F-ABE的体积最大时，在线段CF上是否存在一点G，使得DG∥平面ABC，若存在，求此时线段CG的长度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）证明AD⊥平面CFD，可得AD⊥FM，利用FM⊥CD，即可证明FM⊥平面ACD；
（2）由EF⊥AB，可得EF⊥平面ABE．设AE=x，则V_F-ABE=$\frac{1}{3}×2x×（2-x）$，利用基本不等式的性质可得：当且仅当AE=x=1时取等号，即三棱锥F-ABE的体积取得最大值．在线段CF上存在一点G，使得DG∥平面ABC，此时线段CG=2．取CG=2，连接CG，GB．由四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，EF∥AD，可得四边形AEFD是矩形．同理ABGD是矩形．可得：四边形ABGD是平行四边形，于是：DG∥AB．利用线面平行的判定定理即可证明：DG∥平面ABC．

解答 （1）证明：∵AD⊥CF，AD⊥DF，CF∩DF=F，
∴AD⊥平面CFD，
∴FM?平面CFD，
∴AD⊥FM，
∵FM⊥CD，AD∩CD=D，
∴FM⊥平面ACD；
（2）解：∵EF⊥AB，∴EF⊥平面ABE．
设AE=x，则V_F-ABE=$\frac{1}{3}×2x×（2-x）$≤$\frac{2}{3}×（\frac{x+2-x}{2}）^{2}$=$\frac{2}{3}$，当且仅当AE=x=1时取等号，即三棱锥F-ABE的体积取得最大值．
当AE=1，则在线段CF上存在一点G，使得DG∥平面ABC，此时线段CG=2．
下面给出证明：取CG=2，连接CG，GB．
∵四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，∴AB∥CD．
∵EF∥AD，∴四边形AEFD是矩形．
同理ABGD是矩形．
∴BG∥EF∥AD，BG=EF=AD，
∴四边形ABGD是平行四边形，
∴DG∥AB．
又DG?平面ABC，AB?平面ABC．
∴DG∥平面ABC．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、平行四边形与矩形的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．