Question

【题目】已知函数，其中实数．

（1）若，求函数在上的最值；

（2）若，讨论函数的单调性．

Answer 1

【答案】（1）最大值是5-2ln5，最小值为2﹣2ln2；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）求出， 得增区间， 得减区间，从而求出函数在闭区间上的最值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论 的范围，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间即可.

试题解析：（1）∵f（x）=x﹣2lnx，∴f′（x）=，令f′（x）=0，∴x=2．列表如下，

x	1	（1，2）	2	（2，5）	5
f'（x）		﹣	0	+
f（x）	1	↘	2﹣2ln2	↗	5﹣2ln5

从上表可知，∵f（5）﹣f（1）=4﹣2ln5>0，∴f（5）＞f（1），

函数f（x）在区间[1，3]上的最大值是5-2ln5，最小值为2﹣2ln2；

（2）f′(x)=1+ - ==，

①当a＞2时，x∈（0，2）∪（a，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（2，a）时，f′（x）＜0，

∴f（x）的单调增区间为（0，2），（a，+∞），单调减区间为（2，a）；

②当a=2时，∵f′(x)= >0(x≠2)，∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）；

③当0＜a＜2时，x∈（0，a）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（a，2）时，f′（x）＜0，

∴f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞），单调减区间为（a，2）；

综上，当a＞2时，f（x）的单调增区间为（0，2），（a，+∞），单调减区间为（2，a）；

当a=2时，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；

当0＜a＜2时，f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞），单调减区间为（a，2）．

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.