Question

已知关于x的方程2x2-(

3

+1)x+m=0的两根为sinθ和cosθ．
（1）求

1+sinθ+cosθ+2sinθcosθ

1+sinθ+cosθ

的值；
（2）求m的值．

Answer 1

分析：首先根据韦达定理得出sinθ+cosθ=

3 +1

2

，sinθ•cosθ=

m

2

（1）化简原式并将相应的值代入即可；（2）利用（sinθ+cosθ）²=1+2sinθ•cosθ，并将sinθ+cosθ=

3 +1

2

，sinθ•cosθ=

m

2

，代入即可求出m的值．

解答：解：依题得：sinθ+cosθ=

3 +1

2

，sinθ•cosθ=

m

2

；
∴（1）

1+sinθ+cosθ+2sinθcosθ

1+sinθ+cosθ

=sinθ+cosθ=

3 +1

2

；
（2）（sinθ+cosθ）²=1+2sinθ•cosθ
∴(

3 +1

2

)2=1+2•

m

2

∴m=

3

2

．

点评：本题考查了三角函数的化简求值以及韦达定理，根据韦达定理得出sinθ+cosθ=

3 +1

2

，sinθ•cosθ=

m

2

是解题的关键，属于中档题．