Question

（2012•山西模拟）已知关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一负根的必要条件是a≤m，求m的取值范围．

Answer 1

分析：经检验a=0 或a＜0时，满足条件．当a＞0时，由根与系数的关系可得方程若有跟，则两根都是负根，
而方程有根的条件是△≥0，解得 1≥a＞0，综合得方程至少有一负根的必要条件是a≤1．而已知方程至少有一负根的必要条件是a≤m，故m≥1．

解答：解：当a=0时，关于x的方程为2x+1=0，解得x=-

1

2

，满足条件．
当a＜0时，判别式△=4-4a＞0，x₁x₂=

1

a

＜0，此时方程有且仅有一个负根，满足条件．
当a＞0时，∵

x1+x2= - 2 a ＜0 x1x2=  1 a ＞0

，故方程若有跟，则两根都是负根．
而方程有根的条件是△=4-4a≥0，解得 1≥a＞0．
综上可得，方程至少有一负根的必要条件是a≤1．
而已知方程至少有一负根的必要条件是a≤m，故m≥1，即 m的取值范围为[1，+∞）．

点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．