题目内容
已知二次函数f（x）=x2+2ax+c，且f（1）=-1．
（1）当f（0）=-4时，求函数f（x）在x∈[2，+∞）的最小值；
（2）若对于任意的x∈[a，a+2]，f（x）＞-1恒成立，求实数a的取值范围．
（1）当f（0）=-4时，求函数f（x）在x∈[2，+∞）的最小值；
（2）若对于任意的x∈[a，a+2]，f（x）＞-1恒成立，求实数a的取值范围．
分析：（1）由f（1）=-1和f（0）=-4，列出关于a和c的方程组，求出a=1，c=-4，即得f（x）=x2+2x-4，对称轴为x=-1，所以函数f（x）在[2，+∞）单调递增，即可得f（x）的最小值．
（2）根据f（1）=-1可得c=-2-2a，可得f（x）=x2+2ax-2-2a，对于任意的x∈[a，a+2]，f（x）＞-1恒成立，即求f（x）min＞-1．根据对称区间轴为x=-a与[a，a+2]的位置关系，分类讨论求出f（x）min，进而求得实数a的取值范围．
（2）根据f（1）=-1可得c=-2-2a，可得f（x）=x2+2ax-2-2a，对于任意的x∈[a，a+2]，f（x）＞-1恒成立，即求f（x）min＞-1．根据对称区间轴为x=-a与[a，a+2]的位置关系，分类讨论求出f（x）min，进而求得实数a的取值范围．
解答：解：（1）∵f（1）=-1且f（0）=-4，
∴1+2a+c=-1且c=-4，
∴a=1，c=-4，
∴f（x）=x2+2x-4，可得f（x）的对称轴为x=-1，
∴函数f（x）在[2，+∞）单调递增，
∴f（x）的最小值为f（2）=4．
（2）∵f（1）=-1，
∴c=-2-2a，可得f（x）=x2+2ax-2-2a，对称轴为x=-a，
∵对于任意的x∈[a，a+2]，f（x）＞-1恒成立，即求f（x）min＞-1，
①当-a≤a，即a≥0时，对称轴在[a，a+2]的左侧，
∴f（x）在[a，a+2]上单调递增，
∴f（x）min=f（a）=3a2-2a-2＞-1，即3a2-2a-1＞0解得，a＜-
或a＞1，
∴a＞1．
②当a＜-a＜a+2，即-1＜a＜0时，对称轴在[a，a+2]的中间，
∴f（x）min=f（-a）=-a2-2a-2＞-1，即（a+1）2＜0，
∴a无解．
③当-a≥a+2，即a≤-1时，对称轴在[a，a+2]的右侧，
∴f（x）在[a，a+2]上单调递减，
∴f（x）min=f（a+2）=3a2+6a+2＞-1，即a2+2a+1＞0，解得a≠-1，
∴a＜-1．
综上可得，a＜-1或a＞1
实数a的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
∴1+2a+c=-1且c=-4，
∴a=1，c=-4，
∴f（x）=x2+2x-4，可得f（x）的对称轴为x=-1，
∴函数f（x）在[2，+∞）单调递增，
∴f（x）的最小值为f（2）=4．
（2）∵f（1）=-1，
∴c=-2-2a，可得f（x）=x2+2ax-2-2a，对称轴为x=-a，
∵对于任意的x∈[a，a+2]，f（x）＞-1恒成立，即求f（x）min＞-1，
①当-a≤a，即a≥0时，对称轴在[a，a+2]的左侧，
∴f（x）在[a，a+2]上单调递增，
∴f（x）min=f（a）=3a2-2a-2＞-1，即3a2-2a-1＞0解得，a＜-
| 1 |
| 3 |
∴a＞1．
②当a＜-a＜a+2，即-1＜a＜0时，对称轴在[a，a+2]的中间，
∴f（x）min=f（-a）=-a2-2a-2＞-1，即（a+1）2＜0，
∴a无解．
③当-a≥a+2，即a≤-1时，对称轴在[a，a+2]的右侧，
∴f（x）在[a，a+2]上单调递减，
∴f（x）min=f（a+2）=3a2+6a+2＞-1，即a2+2a+1＞0，解得a≠-1，
∴a＜-1．
综上可得，a＜-1或a＞1
实数a的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
点评：本题考查了二次函数的解析式以及二次函数的性质，重点考查了二次函数最值的求解，二次函数的最值要考虑开口方向和对称轴与区间的位置关系，运用分类讨论的数学思想解决此类问题．属于中档题．
练习册系列答案
相关题目