题目内容

12.对任意两个非零的平面向量$\overrightarrow a$和$\overrightarrow b$,定义$\overrightarrow a*\overrightarrow b=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow b}{\overrightarrow b•\overrightarrow b}$;若平面向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$满足$|{\overrightarrow a}|>|{\overrightarrow b}|>0$,$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ∈(0,$\frac{π}{4}$),且$\overrightarrow a*\overrightarrow b,\overrightarrow b*\overrightarrow a$都在集合{$\frac{n}{2}$|n∈Z}中,则$\overrightarrow a*\overrightarrow b$=(  )
A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{3}{2}$C.1D.$\frac{5}{2}$

分析 先求出$\overrightarrow{a}$﹡$\overrightarrow{b}$=$\frac{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cosθ}{|b{|}^{2}}$=$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}cosθ$=$\frac{n}{2}$,n∈z,$\overrightarrow{b}﹡\overrightarrow{a}=\frac{m}{2},m∈z$再由$co{s}^{2}θ=\frac{nm}{4}∈(\frac{1}{2},1)$ 故 n=3,m=1 从而求出答案.

解答 解:∵$\overrightarrow{a}﹡\overrightarrow{b}=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{b}}=\frac{|\overrightarrow{a}\overrightarrow{||b}|cosθ}{|\overrightarrow{b}{|}^{2}}=\frac{|\overrightarrow{a}|}{\overrightarrow{|b}|}cosθ$=$\frac{n}{2}$,n∈z,
同理可得:$\overrightarrow{b}﹡\overrightarrow{a}=\frac{m}{2},\\;\\;m∈z$.  m∈z.
再由$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ∈(0,$\frac{π}{4}$),知$co{s}^{2}θ=\frac{nm}{4}∈(\frac{1}{2},1)$,故mn=3,m,n∈z.
∵$|\overrightarrow{a}|>|\overrightarrow{b}|>0$
∴$0<\overrightarrow{b}﹡\overrightarrow{a}=\frac{m}{2}<1$
∴m=1,n=3
∴$\overrightarrow{a}﹡\overrightarrow{b}=\frac{3}{2}$
故答案为B.

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义,求得 m=1,n=3,是解题的关键,属于中档题.

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