Question

11．已知a₁，a₂，…a_n是等差数列，M={a_i，a_j，a_k|1≤i＜j＜k≤13}，问：0，$\frac{7}{2}$，$\frac{16}{3}$是否可以同时在M中？

Answer 1

分析 先设出等差数列的公差，求出p，q，r的范围，得到矛盾，从而得到答案．

解答 解：0，$\frac{7}{2}$，$\frac{16}{3}$不可能同时在M中，
证明如下：
可不妨设等差数列a₁，a₂，…a_n的公差d≥0，
则?p，q，r∈N^*，使得3a₁+pd=0，3a₁+（p+q）d=$\frac{7}{2}$，
3a₁+（p+q+r）d=$\frac{16}{3}$，
∴$\frac{q}{r}$=$\frac{21}{11}$，∴q≥21，r≥11，
又p≥1+2+3-3=3，
∴p+q+r≥35，
而p+q+r≤12+11+10=33，矛盾，
∴0，$\frac{7}{2}$，$\frac{16}{3}$不可能同时在M中．

点评 本题考查了元素和集合的关系，考查等差数列，是一道中档题．