Question

已知f(x)=

sin(x-3π)•cos(2π-x)•sin(-x+ 3π 2 )

cos(-x-π)•cos( π 2 -x)

（1）若x是第三象限的角，且sin（-x-π）=-

4

5

，求f（x）的值．
（2）求函数y=2f2(x)+f(

π

2

+x)+1的值域．

Answer 1

分析：（1）根据诱导公式化简，得f（x）=-cosx．再由sin（-x-π）=-

4

5

得sinx=-

4

5

，利用同角三角函数的关系结合x是第三象限的角，算出f（x）=-cosx=

3

5

；
（1）由f（x）表达式，结合诱导公式与同角三角函数的平方关系化简，得y=2f2(x)+f(

π

2

+x)+1═-2（sinx-

1

4

）²+

25

8

，再由二次函数的单调性结合sinx∈[-1，1]，即可算出所求函数的值域．

解答：解：根据题意，得
f(x)=

sin(x-3π)•cos(2π-x)•sin(-x+ 3π 2 )

cos(-x-π)•cos( π 2 -x)

=

-sinx•cosx•sin(-x- π 2 )

-cosx•sinx

=sin（-x-

π

2

）=-sin（

π

2

-x）=-cosx
（1）∵x是第三象限的角，且sin（-x-π）=-

4

5

，
∴sinx=-

4

5

，可得cosx=-

1-sin2x

=-

3

5

，
由此可得f（x）=-cosx=

3

5

；
（2）函数y=2f2(x)+f(

π

2

+x)+1=2cos²x-cos（

π

2

+x）+1
即y=2cos²x+sinx+1=-2（sinx-

1

4

）²+

25

8

∵sinx∈[-1，1]，
∴当sinx=

1

4

时，函数的最大值为

25

8

；当sinx=-1时，函数的最小值为0
因此，函数y=2f2(x)+f(

π

2

+x)+1的值域为[0，

25

8

]

点评：本题题将一个三角函数式化简，求特殊函数值并求另一函数的值域．着重考查了诱导公式、同角三角函数的基本关系与二次函数的图象与性质等知识，属于中档题．