题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
6
3
，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
5
2
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为-
1
2
，求斜率k的值；
②已知点M(-
7
3
，0)，求证：
MA
•
MB
为定值．
（1）因为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)满足a2=b2+c2，
c
a
=
6
3
，…（2分）
根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
5
2
3
，可得
1
2
×b×2c=
5
2
3
．
从而可解得a2=5，b2=
5
3
，
所以椭圆方程为
x2
5
+
y2
5
3
=1…（4分）
（2）证明：①将y=k（x+1）代入
x2
5
+
y2
5
3
=1中，消元得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-5=0…（6分）
△=36k4-4（3k2+1）（3k2-5）=48k2+20＞0，x1+x2=-
6k2
3k2+1
…（7分）
因为AB中点的横坐标为-
1
2
，所以-
3k2
3k2+1
=-
1
2
，解得k=±
3
3
…（9分）
②由①知x1+x2=-
6k2
3k2+1
，x1x2=
3k2-5
3k2+1

所以
MA
•
MB
=(x1+
7
3
，y1)(x2+
7
3
，y2)=(x1+
7
3
)(x2+
7
3
)+y1y2…（11分）
=(x1+
7
3
)(x2+
7
3
)+k2(x1+1)(x2+1)=(1+k2)x1x2+(
7
3
+k2)(x1+x2)+
49
9
+k2…（12分）
=(1+k2)
3k2-5
3k2+1
+(
7
3
+k2)(-
6k2
3k2+1
)+
49
9
+k2=
-3k4-16k2-5
3k2+1
+
49
9
+k2=
4
9
…（14分）
练习册系列答案
相关题目
如图，椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求
|PQ|
|ST|
的最大值及取得最大值时m的值．
已知椭圆的方程为：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，其中a2=4c，直线l：3x-2y=0与椭圆的交点在x轴上的射影恰为椭圆的焦点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆在x轴上方的一个交点为P，F是椭圆的右焦点，试探究以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系．
已知点M是曲线C上任一点，点M到点F（1，0）的距离比到y轴的距离多1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点P（0，2）的直线L交曲线C于A、B两点，若以AB为直径的圆经过原点O，求直线L的方程．
AB是过抛物线x2=y的焦点一条弦，若AB的中点到x轴的距离为1，则弦AB的长度为（　　）
A．
5
2
B．
5
4
C．2D．3
设直线y=x+1与椭圆
x2
2
+y2=1相交于A，B两点，则|AB|=______．
如图，点F是椭圆W：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点，A、B分别是椭圆的右顶点与上顶点，椭圆的离心率为
1
2
，三角形ABF的面积为
3
3
2
，
（Ⅰ）求椭圆W的方程；
（Ⅱ）对于x轴上的点P（t，0），椭圆W上存在点Q，使得PQ⊥AQ，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆W交于不同的两点M、N（M、N异于椭圆的左右顶点），若以MN为直径的圆过椭圆W的右顶点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
椭圆
x2
16
+
y2
9
=1的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2的内切圆的面积为π．A，B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则|y2-y1|的值为______．
已知直线与椭圆
x2
9
+
y2
4
=1交于A，B两点，设线段AB的中点为P，若直线的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2等于______．

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