Question

（2013•惠州模拟）（理科）设椭圆M：

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞

2

)的右焦点为F₁，直线l：x=

a2

a2-2

与x轴交于点A，若

OF1

+2

AF1

=0（其中O为坐标原点）
（1）求椭圆M的方程；
（2）设点P是椭圆M上的任意一点，线段EF为圆N：x²+（y-2）²=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求

PE

•

PF

的最大值．

Answer 1

分析：（1）确定A，F₁的坐标，利用

OF1

+2

AF1

=0建立方程，从而可求椭圆M的方程；
（Ⅱ）利用向量的数量积运算，将求

PE

•

PF

的最大值转化为求

NP

2的最大值，利用配方法可求．

解答：解：（1）由题设知，A(

a2

a2-2

，0)，F₁（

a2-2

，0）
∵

OF1

+2

AF1

=0，∴

a2-2

=2(

a2

a2-2

-

a2-2

)
∴a²=6
∴椭圆M的方程为

x2

6

+

y2

2

=1；
（2）∵圆N：x²+（y-2）²=1的圆心为点N
∴

PE

•

PF

=(

NE

-

NP

)•(

NF

-

NP

)=

NP

2-

NF

2=

NP

2-1
从而将求

PE

•

PF

的最大值转化为求

NP

2的最大值
P是椭圆M上的任一点，设P（x₀，y₀），则有

x02

6

+

y02

2

=1，即x₀²=6-3y₀²，
又N（0，2），∴

NP

2=x₀²+（y₀-2）²=-2（y₀+1）²+12
∵y0∈[-

2

，

2

]，∴当y₀=-1时，

NP

2取最大值12
∴

PE

•

PF

的最大值为11．

点评：本题以向量为载体，考查椭圆的标准方程，考查向量的数量积，考查配方法求函数的最值，综合性强，属于中档题