Question

已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为和，且||=2，
点（1，）在该椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过的直线与椭圆C相交于A，B两点，若AB的面积为，求以为圆心且与直线相切圆的方程．

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：本题主要考查椭圆的定义和方程、圆的方程、点到直线的距离公式等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.第一问，利用，得，即，再根据点在椭圆上，得到和的值，从而得到椭圆方程；第二问，分2种情况进行讨论，当直线垂直x轴时，的面积很容易求出，与已知面积不相等，所以舍掉，当直线不垂直x轴时，设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求出，再数形结合求出圆的半径，从而求的面积，解出k的值，确定半径的值，即可求出圆的方程.
试题解析：（1）椭圆C的方程为                            ．．（4分）
（2）①当直线⊥x轴时，可得，，的面积为3，不符合题意．   （6分）
②当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程得：
，显然＞0成立，设A，B，则
，，可得|AB|=     ．．（9分）
又圆的半径，∴的面积=，化简得：，得k=±1，∴r =，圆的方程为    ．．（12分）