Question

18. 如图，已知ABCD－A₁B₁C₁D₁是棱长为3的正方体，点E在AA₁上，点F在CC₁上，且AE=FC₁=1.

（1）求证：E、B、F、D₁四点共面；

（2）若点G在BC上，BG＝，点M在BB₁上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC₁B₁；

（3）用θ表示截面EBFD₁和侧面BCC₁B₁，所成的锐二面角的大小，求tanθ.

Answer 1

解法一：

（1）如图，在DD₁上取点N，使DN=1，连结EN，CN，则AE=DN=1，CF=ND₁=2.

因为AE∥DN，ND₁∥CF，所以四边形ADNE、CFD₁N都为平行四边形.

从而ENAD，FD₁∥CN.

又因为ADBC，所以ENBC，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CN∥BE，从而FD₁∥BE.

因此，E、B、F、D₁四点共面.

（2）如图，GM⊥BF，又BM⊥BC，所以∠BGM=∠CFB，BM=BG·tan∠BGM=BG·tan ∠CFB=BG·=×=1.

因为AEBM，所以ABME为平行四边形，从而AB∥EM。

又AB⊥平面BCC₁B₁，所以EM⊥平面BCC₁B₁。

（3）如图，连结EH，因为MH⊥BF，EM⊥BF，所以BF⊥平面EMH，得EH⊥BF。

于是∠EHM是所求的二面角的平面角，即∠EHM＝θ。

因为∠MBH＝∠CFB，所以

MH=BM·sin∠MBH=BM·sin∠CFB=BM·=1×，

tanθ=.

解法二：

（1）建立如图所示的坐标系，则=（3，0，1）， =（0，3，2）， =（3，3，3）.所以＝＋。故、、共面。

又它们有公共点B，所以E、B、F、D₁四点共面。

（2）如图，设M（0，0，z），则＝（0， -，z），而＝（0，3，2），由题设得

·＝－·3＋z·2=0，得z=1。

因为M（0，0，1），E（3，0，1），有＝（3，0，0）.

又＝（0，0，3）， ＝（0，3，0），所以·＝0， ·＝0，从而ME⊥BB₁，ME⊥BC。故ME⊥平面BCC₁B₁。

（3）设向量＝（x，y，3）⊥截面EBFD₁，于是⊥，⊥。

而＝（3，0，1），＝（0，3，2），得·＝3x+3=0， ·＝3y+6=0，解得x= -1，y= -2，所以＝（－1，－2，3）.

又＝（3，0，0）⊥平面BCC₁B₁，所以和的夹角等于θ或π－θ（θ为锐角）。

于是cosθ=.

故tanθ=.