Question

3．设函数f（x）定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]∈D使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么就称y=f（x）为“成功函数”．若函数g（x）=log_a（a^2x+t）（a＞0且a≠1）是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围为（0，$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 由题意可知f（x）在D内是单调增函数，才为“成功函数”，由定义可构造log_a（a^2x+t）=x有两不同实数根，利用二次方程解出t的范围．

解答 解：∵g（x）=log_a（a^2x+t）（a＞0且a≠1）是定义域为R的“成功函数”，
∴函数为增函数，且f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，
∴g（a）=a，g（b）=b
∴相当于方程g（x）=x有两不同实数根，
∴log_a（a^2x+t）=x，得a^x=a^2x+t即a^2x-a^x+t=0
令m=a^x，m＞0
∴m²-m+t=0有两个不同的正数根，由韦达定理得，△=1-4t＞0，t＞0，1＞0，
∴t∈（0，$\frac{1}{4}$）．
故答案为：（0，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题主要考查对数函数的定义域和单调性，求函数的值域，难点在于构造函数，转化为两函数有不同二交点，利用方程解决．