Question

【题目】已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f′（x）+2f（x）= ，且f（1）= ，则不等式f（lnx）＞f（3）的解集为（ ）
A.（﹣∞，e3）
B.（0，e3）
C.（1，e3）
D.（e3 ， +∞）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由题意f′（x）+2f（x）= ，即[e2x（x）]′=lnx+ ， 两边积分可知：e2x（x）=xlnx﹣x+ x+C，
∴f（x）= ，
由f（1）= ，代入解得：C= ，
∴f（x）= ，
求导f′（x）= ，由e2x＞0
令g（x）=﹣2xlnx+lnx+x﹣1，求导g′（x）=﹣2lnx+ ﹣1，
令g′（x）=0，解得：x=1，
当x＞1时，g′（x）＜0，函数单调递减，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，函数单调递增，
∴当x=1时，f′（x）取最大值，最大值为0，
即f′（x）≤0恒成立，
∴f（x）= ，单调递减，
∴由f（lnx）＞f（3），则0＜lnx＜3，
即1＜x＜e3 ，
故不等式的解集（1，e3），
故选：C．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．