题目内容
【题目】如图，正四面体
的顶点
分别在两两垂直的三条射线
上，在下列命题中，错误的是（ ）
A. 四面体
是正三棱锥 B. 直线
与平面
相交 C. 异面直线
和
所成角是
D. 直线
与平面
所成的角的正弦值为
【答案】D
【解析】对于A，如图ABCD为正四面体，
∴△ABC为等边三角形，
又∵OA、OB、OC两两垂直，∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC．
过O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于M，
由三垂线定理可知BC⊥AM，∴M为BC中点，
同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB中点，
∴N为底面△ABC中心，∴O﹣ABC是正三棱锥，
故A正确；
对于B，将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，
显然OB与平面ACD不平行．则B正确；
对于C，CD在平面ABC上的射影为
AC，
直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为
，故D错误；
对于D，AB和OE垂直，且OE平行于CD，
则异面直线AB和CD所成的角为90°，
故C正确．
故选：D ．
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【题目】为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标
）、推理（能力指标
）、建模（能力指标
）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标
的值评定学生的数学核心素养；若
，则数学核心素养为一级；若
，则数学核心素养为二级；若
，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：
学生编号 |
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（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；
（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为
，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为
，记随机变量
，求随机变量
的分布列及其数学期望.
【题目】一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些缺损．按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表所示：
转速x(转/秒) | 16 | 4 | 12 | 8 |
每小时生产有缺损零件数y(个) | 11 | 9 | 8 | 5 |
(1)作出散点图；
(2)如果y与x线性相关，求出回归直线方程；
(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？
