Question

【题目】在四棱锥中，，底面，，直线与底面所成的角为，分别是的中点．

（1）求证：直线平面；

（2）若，求证：直线平面；

（3）若，求棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

【解析】

（1）由M、N是PA、PB中点，结合三角形中位线定理得MN∥AB，从而MN∥CD，由线面平行的判定定理证得MN∥平面PDC；（2）由DN⊥PB，，利用线面垂直判定定理得直线DN⊥平面PBC；（3）用等体积法，求VP﹣ABC相应的高PD和底面积，再用体积公式即可．

（1）证明：连接 ，∵是中点，∴，从而．

∵在平面外，在平面内，∴直线平面；

（2）证明：∵，∴．

∵底面，直线与底面成角，

∴．∴．

∵是的中点，∴．

∵， ∴．

∵相交于一点，∴直线平面；

（3）．