Question

（2012•深圳二模）在△ABC中，角A为锐角，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量

m

=(cosA，sinA)，

n

=(cosA，-sinA)，且

m

与

n

的夹角为

π

3

．
（1）求

m

•

n

的值及角A的大小；
（2）若a=

7

，c=

3

，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析：（1）通过向量的数量积的坐标运算以及向量的数量积，求出A的大小即可．
（2）通过余弦定理求出b，然后通过面积公式求出结果即可．

解答：解：（1）因为

m

=(cosA，sinA)，|

m

|=1，

n

=(cosA，-sinA)，∴|

n

|=1，
∴

m

•

n

=|

m

||

n

|cos

π

3

=

1

2

（3分）
又

m

•

n

=cos2A-sin2A=cos2A，
所以cos2A=

1

2

．（5分）
因为角A为锐角，
∴2A=

π

3

，A=

π

6

 （7分）
（2）因为 a=

7

，c=

3

，A=

π

6

，及a²=b²+c²-2bccosA，
∴7=b²+3-3b，即b=-1（舍去）或b=4 （10分）
故S=

1

2

bcsinA=

3

（12分）

点评：本小题主要考查向量的数量积和夹角的概念，以及用正弦或余弦定理解三角形，三角形的面积公式，考查了简单的数学运算能力．