题目内容
(2012•深圳二模)已知二次函数f(x)的最小值为-4,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数g(x)=
-4lnx的零点个数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数g(x)=
f(x) | x |
分析:(1)根据f(x)是二次函数,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R},设出函数解析式,利用函数f(x)的最小值为-4,可求函数f(x)的解析式;
(2)求导数,确定函数的单调性,可得当0<x≤3时,g(x)≤g(1)=-4<0,g(e5)=e5-
-20-2>25-1-22=9>0,由此可得结论.
(2)求导数,确定函数的单调性,可得当0<x≤3时,g(x)≤g(1)=-4<0,g(e5)=e5-
3 |
e5 |
解答:解:(1)∵f(x)是二次函数,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R},
∴f(x)=a(x+1)(x-3)=a[(x-1)2-4](a>0)
∴f(x)min=-4a=-4
∴a=1
故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3
(2)g(x)=
-4lnx=x-
-4lnx-2(x>0),
∴g′(x)=
x,g′(x),g(x)的取值变化情况如下:
当0<x≤3时,g(x)≤g(1)=-4<0;
又g(e5)=e5-
-20-2>25-1-22=9>0
故函数g(x)只有1个零点,且零点x0∈(3,e5)
∴f(x)=a(x+1)(x-3)=a[(x-1)2-4](a>0)
∴f(x)min=-4a=-4
∴a=1
故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3
(2)g(x)=
f(x) |
x |
3 |
x |
∴g′(x)=
(x-1)(x-3) |
x2 |
x,g′(x),g(x)的取值变化情况如下:
x | (0,1) | 1 | (1,3) | 3 | (3,+∞) |
g′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
g(x) | 单调增加 | 极大值 | 单调减少 | 极小值 | 单调增加 |
又g(e5)=e5-
3 |
e5 |
故函数g(x)只有1个零点,且零点x0∈(3,e5)
点评:本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系,函数零点的概念,导数运算法则、用导数研究函数图象的意识、考查数形结合思想,考查考生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力.
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