Question

1．对于任意的n∈N，试比较（2n+1）²与2²ⁿ的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析 当n=1时，当n=2时，当n=3时，当n=4时，分别比较大小，然后猜想，当n≥3时，2²ⁿ＞（2n+1）²；
以下用数学归纳法证明：
（1）当n=3时，验证结果正确；（2）假设当n=k，k≥3时成立，结果成立，证明当n=k+1时，结论也成立．

解答 解：当n=1时，2²ⁿ=4＜（2n+1）²=9；当n=2时，2²ⁿ=16＜（2n+1）²=25；
当n=3时，2²ⁿ=64＞（2n+1）²=49；当n=4时，2²ⁿ=256＞（2n+1）²=81；
由此猜想，当n≥3时，2²ⁿ＞（2n+1）²；…（4分）
以下用数学归纳法证明：
（1）当n=3时，显然结论成立．…（5分）
（2）假设当n=k，k≥3时成立，即2^2k＞（2k+1）²；
当n=k+1时，2^2（k+）=4•2^2k＞4（2k+1）²，…（7分）
因为4（2k+1）²-[2（2k+1）+1]²=12k²-4k-5=（6k+5）（2k-1）＞0，k≥3，
所以4（2k+1）²＞[2（2k+1）+1]²，…（9分）
即当n=k+1时，结论也成立．
由（1）（2）知，对n≥3的一切自然数，2²ⁿ＞（2n+1）²都成立．…（11分）
综上，当n≥3时，2²ⁿ＞（2n+1）²；当n=1，2时，2²ⁿ＜（2n+1）²．…（12分）

点评 本题考查数学归纳法证明不等关系，考查归纳推理，是中档题．