Question

设a∈R，f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

是奇函数，
（1）求a的值；
（2）如果g（n）=

n

n+1

（n∈N₊），试比较f（n）与g（n）的大小（n∈N₊）．

Answer 1

∵（1）f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，2a-2=0，解得a=1．
经验证a=1，f（x）是奇函数，∴a=1．
（2）由（1）可知：f（x）=

2x-1

2x+1

，∴f（n）=

2n-1

2n+1

．
∴f（n）-g（n）=

2n-1

2n+1

-

n

n+1

=

2n-2n-1

(2n+1)(n+1)

．
只要比较2ⁿ与2n+1的大小即可．
当n=1，2时，f（n）＜g（n）；当n≥3时，2ⁿ＞2n+1，f（n）＞g（n）．
下面证明，n≥3时，2ⁿ＞2n+1，即f（x）＞g（x）．
①n=3时，2³＞2×3+1，显然成立，
②假设n=k（k≥3，k∈N₊）时，2^k＞2k+1，
那么n=k+1时，2^k+1=2×2^k＞2（2k+1）．
2（2k+1）-[2（k+1）+1]=4k+2-2k-3=2k-1＞0（∵k≥3），
有2^k+1＞2（k+1）+1．
∴n=k+1时，不等式也成立，由①②可以断定，n≥3，n∈N₊时，2ⁿ＞2n+1．
结论：n=1，2时，f（n）＜g（n）；当n≥3，n∈N₊时，f（n）＞g（n）．