Question

如图，矩形ABCD中，AB=，BC=2，椭圆M的中心和准线分别是已知矩形的中心和一组对边所在直线，矩形的另一组对边间的距离为椭圆的短轴长，椭圆M的离心率大于0.7．
（I）建立适当的平面直角坐标系，求椭圆M的方程；
（II）过椭圆M的中心作直线l与椭圆交于P，Q两点，设椭圆的右焦点为F₂，当时，求△PF₂Q的面积．

Answer 1

【答案】分析：先以过O平行于AB的直线为x轴，以过O平行于AD的直线为y轴建立直角坐标系．
（1）设椭圆方程为，根据题目中准线方程、短轴长和离心率确定a，b，c的值，代入即可确定方程．
（2）先求出|PF₁|、|PF₂|的距离，根据对称性可知|PF₁|=|QF₂|，再由三角形面积公式可得到答案．
解答：解；如图，建立直角坐标系，
依题意：设椭圆方程为（a＞b＞0），
（I）依题意：，
∵椭圆M的离心率大于0.7，所以a²=4，b²=1．
∴椭圆方程为．

（II）因为直线l过原点与椭圆交于点P，Q，
设椭圆M的左焦点为F₁．
由对称性可知，四边形PF₁QF₂是平行四边形．
∴△PF₂Q的面积等于△PF₁F₂的面积．
∵，
∴．
设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，
则
∴．
∴．
点评：本题主要考查椭圆的标准方程．圆锥曲线是每年必考题，对于圆锥曲线的基础知识一定要熟练掌握．